2007/Aug/23

เซต

ทฤษฎีเซต เป็นแนวทฤษฎีหนึ่งในทางคณิตศาสตร์ คิดค้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) เป็นผู้ริเริ่มคำว่า "เซต" ต่อจากนั้นนักคณิตศาสตร์จึงใช้คำนี้กันอย่างแพร่หลาย ความรู้ในเรื่องเซตสามารถนำมาเชื่อมโยงเนื้อหาในคณิตศาสตร์หลายๆเรื่อง

ความหมายของเซต

เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆซึ่งมีกฎเกณฑ์ชัดเจนว่าสิ่งใดอยู่ในเซตและสิ่งใดไม่ได้อยู่ในเซต สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่าสมาชิกของเซต โดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น
A,B,C และแทนสมาชิกของเซตซึ่งยังไม่เจาะจงว่าคือตัวอะไรด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c

การเขียนเซต

นอกจากจะเขียนวงกลมหรือวงรีล้อมรอบสมาชิกทั้งหมดของเซตแล้ว เรายังมีวิธีเขียนเซตได้อีก 2 วิธี ดังนี้

1) วิธีแจกแจงสมาชิก (Tubular form) มีหลักการเขียน ดังนี้
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่จำนวนสมาชิกมาก ๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัวแรก แล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) แล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2) วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) หลักการเขียนมีดังนี้
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย | (| อ่านว่า "โดยที")่ แล้วตามด้วยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x}

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Set) คือ เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน
สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalentl Sets คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

ลักษณะของเซต

เซตว่าง (Empty Ser) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย เขียนแทนด้วย { }
เซตอนันต์
(Infinite Set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวก
เซตจำกัด
(Finite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวน

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้

สับเซต ว่าA เป็นสับเซตของ B หมายความสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต
3. ถ้า A เป็นสับเซตของเซตว่างแล้ว A = เซตว่าง
4. ถ้า A เป็นสับเซตของB และ B เป็นสับเซตของC แล้ว A เป็นสับเซตของC
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A เป็นสับเซตของB และ B เป็นสับเซตของA

เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)